Struktur Aljabar

1.   Tunjukan bahwa Q( 3) = {a + b 3 | a,b Î Q}  adalah merupakan Subring

dari R.

Penyelesaian :

Akan ditunjukan bahwa Q( 3) = {a + b 3 | a,b Î Q} memenuhi syarat-syarat

dari suatu Ring.

1) S ¹ f, syarat terpenuhi karena Q( 3) = {a + b 3 | a,b Î Q}

2) a – b Î Q( 3)

Misalkan a + b 3 , c + d 3 Î Q( 3) maka :

a + b 3 - c + d 3 = (a - c) + (b - d) 3 ÎQ( 3)

3) a . b Î Q( 3)

Misalkan a + b 3 , c + d 3 Î Q( 3), maka :

( a + b 3 ) . ( c + d 3 ) = (ac + 3bd) + (ad + bc) 3 ÎQ( 3)

v  Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka Q( 3) = {a + b 3 | a,b Î Q}

adalah Subring dari R.

2. Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma

Ring ?

Penyelesaian :

Akan kita buktikan bahwa " a, b Î R berlaku :

1) f(a + b) = f(a) + f(b)

2) f(a . b) = f(a) . f(b)

Sehingga :

1) f(a + b) = f(a) + f(b), " a, b Î R

(a + b) = (a) + (b)

a + a = a + b

2) f(a . b) = f(a) . f(b), " a, b Î R

(a . b) = (a) . (b)

a . b = a . b

v  Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka

f : Z R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma

Ring.